문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 전자기파 방사 (문단 편집) === 미소 쌍극자 안테나 === 미소 쌍극자 안테나의 구조를 간단하게 나열하면 아래와 같다. [[파일:나무_쌍극자안테나_구조.png|width=280&align=center]] 위와 같이 두 도체봉이 교류전원에 연결되어 있는 형태이며, 고류전원을 통해 전류를 흘려줌으로써 전하는 도체봉의 끝으로 몰리거나 끝에서 사라져간다. 따라서 각 도체봉의 끝은 [math(+)] 혹은 [math(-)]로 대전된다. 또한 교류전원에 연결되어 있으므로 전류는 각 시간마다 달라지므로 끝에 대전된 전하량과 부호 또한, 교류전원의 주파수에 따라 변하게 된다. 안테나의 길이가 매우 짧은 안테나를 고려하고 있기 때문에 도체봉은 근사적으로 변하는 쌍극자라 생각할 수 있고, 윗 문단에서 변하는 쌍극자는 전자기파 방사를 할 수 있음을 논의했다. 그렇기 때문에 이러한 안테나를 '''미소 쌍극자 안테나(short dipole antenna)'''라 한다. [[파일:나무_쌍극자안테나_new.png|width=310&align=center]] 위 그림은 분석하기 용이하게 미소 쌍극자 안테나를 도식화한 것이다. 안테나의 길이 [math(l)]은 방사 파장보다 매우 작다고 가정하자.[* 이것을 쌍극자 근사라 한다.] 즉, ||<:>[math(\displaystyle l \ll \frac{2 \pi c}{\omega} )] || 이 때, 안테나엔 아래와 같은 [math(\mathbf{\hat{z}})] 방향의 전류 [math(I(t))]를 흘리고 있다. 안테나의 길이가 매우 작으므로 전류의 공간 의존성은 생각하지 않았다. 따라서 관측점 [math(\mathrm{P})]에서의 벡터 퍼텐셜은 벡터 퍼텐셜의 선형 근사를 통해 ||<:>[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\mathbf{\hat{z}} \int_{-l/2}^{l/2}\, \frac{I(t-\xi'/c)}{\xi'}\,{\rm d}z' )] || 이 때, [math(\xi'=\!\left| \mathbf{r-r'} \right|)]이고, [math(\mathbf{r}=r \mathbf{\hat{r}})], [math(\mathbf{r'}=z' \mathbf{\hat{z}})]이다. 이에 따라 ||<:>[math(\displaystyle \xi'=\sqrt{r^{2}+z'^{2}-2rz'\cos{\theta}} )] || 그런데 안테나가 매우 짧으므로 [math(z' \ll r)]임에 따라 [math(\xi')]는 아래와 같이 근사할 수 있다. ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} \xi'&=r \sqrt{1+\frac{z'^{2}}{r^{2}}-\frac{2z'}{r}\cos{\theta}} \\ &\simeq r \sqrt{1-\frac{2z'}{r}\cos{\theta}} \\ &\simeq r-z'\cos{\theta} \\ & \simeq r \end{aligned})] || 따라서 ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned}\mathbf{A}&=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\mathbf{\hat{z}} \int_{-l/2}^{l/2}\, \frac{I{(t-r/c)}}{r}\,{\rm d}z' \\ &=\frac{\mu_{0}l \mathbf{\hat{z} } }{4\pi } \frac{I{(t-r/c)}}{r} \end{aligned} )] || 이제부터는 스칼라 퍼텐셜을 구해보자. 위의 결과에서 ||<:>[math(\displaystyle \mathbf{A}=\frac{\mu_{0}l \mathbf{\hat{z} } }{4\pi } \frac{I{(t-r/c)}}{r})] || 임을 얻었다. 로렌츠 게이지 ||<:>[math(\displaystyle \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{A} )] || 를 이용하면, ||<:>[math(\displaystyle \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial t}=-\frac{\mu_{0}l }{4\pi } \frac{\partial}{\partial z} \!\left[ \frac{ I\!\left(t-r/c \right)}{r} \right] )] || 로 쓸 수 있다. 따라서 ||<:>[math(\displaystyle \Phi=-\frac{\mu_{0}l c^{2} }{4\pi } \frac{\partial}{\partial z} \int \frac{ I\!\left(t-r/c \right)}{r}\,{\rm d}t )] || 그런데 위 식에서 적분항은 곧 전하량에 비례하므로 ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} \Phi&=-\frac{\mu_{0}l c^{2} }{4\pi } \frac{\partial}{\partial z} \!\left[ \frac{ q\!\left(t-r/c \right)}{r} \right] \\ &=-\frac{\mu_{0}l c^{2} }{4\pi } \!\left[ -\frac{q(t-r/c)}{r^{2}}\frac{\partial r}{\partial z}+\frac{ \dot{q}\!\left(t-r/c \right)}{r} \frac{\partial}{\partial r}\!\left( t-\frac{r}{c} \right) \frac{\partial r}{\partial z} \right] \end{aligned} )] || [math(\dot{q})]는 [math(q)]의 변수 [math(t-r/c)]에 대한 미분임에 주의하자. 또, [math(\dot{q}=I)]로 쓸 수 있다. 또한, 다음의 사실을 이용하면, ||<:>[math(\displaystyle \frac{\partial}{\partial r}\!\left( t-\frac{r}{c} \right)=-\frac{1}{c} \qquad \qquad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r} )] || 스칼라 퍼텐셜은 다음과 같이 된다. ||<:>[math(\displaystyle \Phi=\frac{l }{4\pi \varepsilon_{0} } \!\left[ \frac{zq(t-r/c)}{r^{3}}+\frac{ zI\!\left(t-r/c \right)}{cr^{2}} \right] )] || 다음을 이용하면, ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} q(t)&=q_{0}\cos{(\omega t)} \\ I_{0} &\equiv q_{0}\omega \\ I&=\dot{q} \\ kc &=\omega \end{aligned})] || 스칼라 퍼텐셜은 최종적으로 아래와 같이 결정된다. ||<:>[math(\displaystyle \Phi=\frac{lq_{0}kz}{4 \pi \varepsilon_{0}} \!\left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr^{3}}-\frac{\sin{(\omega t-kr)}}{r^{2}} \right] )] || 위의 표현을 이용하면, 벡터 퍼텐셜 또한, ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{A}&=-\frac{I_{0}\mu_{0}l \mathbf{\hat{z} } }{4\pi } \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{r} \\ &=-\frac{I_{0}\mu_{0}l }{4\pi } \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{r}[\cos{\theta}\,\mathbf{\hat{r}}-\sin{\theta}\,\hat{\boldsymbol{\theta}}] \end{aligned} )] || 위에서 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜 모두 결정했으므로 이제 미소 쌍극자 안테나를 통해 방사되는 장은 결정될 수 있다. 우선, 자기장을 먼저 결정하자. ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}&=\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A} \\ &=-\frac{I_{0}\mu_{0}l k^{2} }{4\pi }\hat{\boldsymbol{\phi}} \!\left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t -kr)}}{k^{2}r^{2}} \right]\sin{\theta} \end{aligned} )]|| 다음으로는 전기장을 결정하자. ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\!\left( \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\Phi \right) \\ &=-\!\left( \frac{\partial A_{r}}{\partial t}+\frac{\partial \Phi}{\partial r} \right )\mathbf{\hat{r}}-\!\left( \frac{\partial A_{\theta}}{\partial t}+\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta} \right )\hat{\boldsymbol{\theta}}-\!\left( \frac{\partial A_{\phi}}{\partial t}+\frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial \Phi}{\partial \phi} \right )\hat{\boldsymbol{\phi}} \end{aligned} )]|| 따라서 ||<:>[math(\displaystyle \mathbf{E}= -\frac{I_{0}l \omega^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} c^{3} }\!\left[ 2\mathbf{\hat{r}} \!\left[ \frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\cos{\theta} +\hat{\boldsymbol{\theta}} \!\left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t-kr)}}{k^{2}r^{2}}-\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{k^{3}r^{3}} \right]\sin{\theta} \right])]|| 위에서 구했던 자기장을 다시 쓰면, ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{B}=-\frac{I_{0}l \omega^{2} }{4\pi \varepsilon_{0}c^{4}}\hat{\boldsymbol{\phi}} \!\left[ \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}+\frac{\sin{(\omega t -kr)}}{k^{2}r^{2}} \right]\sin{\theta} \end{aligned} )] || 쌍극자 방사를 하면서 첨언했듯, 관심있는 것은 안테나로부터 멀리 떨어진 영역([math(kr \gg 1)])에서도 우세한 방사장이다. 따라서 이 영역에서는 [math((kr)^{-1})]의 항이 우세함에 따라 미소 쌍극자 안테나에 의한 방사장은 아래와 같이 결정된다. ||<:>[math(\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{E}&=-\frac{I_{0}l \omega^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} c^{3} }\hat{\boldsymbol{\theta}}\,\frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}\sin{\theta} \\ \mathbf{B}&=-\frac{I_{0}l \omega^{2} }{4\pi \varepsilon_{0}c^{4}}\hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\cos{(\omega t-kr)}}{kr}\sin{\theta} \end{aligned} )] || [[전기 쌍극자]]의 방사장과 비교해보면, 방사장의 原인 쌍극자 모멘트 크기를 결정할 수 있다. ||<:>[math(\displaystyle \frac{I_{0}l \omega^{2}}{4\pi \varepsilon_{0} c^{3} }=\frac{p_{0}k^{3}}{4 \pi \varepsilon_{0}} \, \rightarrow \, \frac{I_{0}l }{\omega}=p_{0} )] || 따라서 이 방사장은 ||<:>[math(\displaystyle \mathbf{p}(t)=\frac{I_{0}l \mathbf{\hat{z}} }{\omega}\cos{(\omega t)} )] || 를 原으로 하여 생성된다. 위의 논의는 미소 쌍극자 안테나는 전기 쌍극자의 방사장과 동일하게 주어지고, 그 장 역시 복잡하게 주어진다. 따라서 위 안테나의 복사 강도 전기 쌍극자 모멘트 방사의 결과를 이용하면, ||<:> [math( \begin{aligned} \displaystyle \!\left \langle \mathbf{S} \right \rangle&=\frac{p_{0}^2k^{4}}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0}^{2} c \mu_{0} } \frac{\sin^{2}{\theta}}{r^2}\,\mathbf{\hat{r}} \\ &=\frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0} \omega^{2} } \frac{\sin^{2}{\theta}}{r^2}\,\mathbf{\hat{r}} \end{aligned})] || 이고, 총 방사 강도와 단위 입체각 당 방사 강도는 다음과 같이 결정된다. ||<:> [math(\begin{aligned}\displaystyle \langle P \rangle&=\frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{12 \pi \varepsilon_{0} \omega^{2} }\\\frac{{\rm d}\langle P \rangle}{{\rm d} \Omega}&=\frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{32 \pi^{2} \varepsilon_{0} \omega^{2} }\sin^{2}{\theta}\end{aligned})]|| 위의 결과는 쌍극자 방사와 같이 안테나와 수직인 축에서 방사 강도는 최대가 되며, 수평인 축에서는 0이 된다. 따라서 방사 패턴 또한, 전기 쌍극자 모멘트 방사의 결과와 같다. 따라서 안테나의 신호를 수신해야 한다면, 안테나의 수직인 축에 수신부를 두는 것이 좋다. 전자기파의 총 방사 강도와 같은 일률을 주는 유효 저항을 유효 방사 저항이라 한다. 즉, ||<:> [math( \displaystyle \langle P \rangle= \frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{12 \pi \varepsilon_{0} \omega^{2} }=\!\left \langle I^{2}R \right \rangle )] || 을 만족시키는 저항을 의미한다. 이 때, [math(I \propto \sin{(\omega t)})]이므로 ||<:> [math( \displaystyle \frac{I_{0}^{2}l^{2}k^{4}c}{12 \pi \varepsilon_{0} \omega^{2} }=\frac{1}{2}I_{0}^{2}R \, \rightarrow \, R=\frac{l^{2}\omega^{2}}{6 \pi \varepsilon_{0} c^{3} } )] || 이 된다. 이 때, 파장과 각진동수와의 관계 [math(\omega = 2\pi c/\lambda)]를 이용하고, [math(\varepsilon_{0}\mu_{0}=c^{-2})]의 관계를 이용하면, 유효 방사 저항을 [math(l/\lambda)]의 비로 아래와 같이 나타낼 수 있다. ||<:> [math( \displaystyle R=\frac{2\pi}{3}\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0} } } \!\left( \frac{l}{\lambda} \right)^{2}=789\!\left( \frac{l}{\lambda} \right)^{2} )] ||저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기